Purpose. The development of a wide construction market and a desire to design innovative architectural building constructions has resulted in the need to create complex numerical models of objects having increasingly higher computational complexity. The purpose of this work is to show that choosing a proper method for solving the set of equations can improve the calculation time (reduce the complexity) by a few levels of magnitude. Methodology. The article presents an analysis of the impact of matrix inversion algorithm on the deflection calculation in the beam, using the finite element method (FEM). Based on the literature analysis, common methods of calculating set of equations were determined. From the found solutions the Gaussian elimination, LU and Cholesky decomposition methods have been implemented to determine the effect of the matrix inversion algorithm used for solving the equations set on the number of computational operations performed. In addition, each of the implemented method has been further optimized thereby reducing the number of necessary arithmetic operations. Findings. These optimizations have been performed on the use of certain properties of the matrix, such as symmetry or significant number of zero elements in the matrix. The results of the analysis are presented for the division of the beam to 5, 50, 100 and 200 nodes, for which the deflection has been calculated. Originality. The main achievement of this work is that it shows the impact of the used methodology on the complexity of solving the problem (or equivalently, time needed to obtain results). Practical value. The difference between the best (the less complex) and the worst (the most complex) is in the row of few orders of magnitude. This result shows that choosing wrong methodology may enlarge time needed to perform calculation significantly.
Мета. Розвиток великого будівельного ринку та прагнення проектувати інноваційні архітектурні будівельні конструкції призвели до необхідності створення складних чисельних моделей об’єктів, у яких зростає складність обчислень. Мета даного дослідження – показати, що вибір правильного методу для вирішення системи рівнянь може поліпшити час розрахунку (зменшити складність) на кілька порядків величини (амплітуди). Методика. У статті представлений аналіз впливу алгоритму звернення матриці на розрахунок прогину в балці з використанням методу скінченних елементів (МСЕ). На основі аналізу літератури були визначені загальні методи розрахункових систем рівнянь. Використовуючи знайдені рішення, були застосовані методи виключення змінних Гаусса, розкладання LU матриці і розкладання Холецкого з метою визначення впливу алгоритму звернення матриці, використовуваної для вирішення комплексу рівнянь, на кількість виконаних обчислювальних операцій. Крім того, кожен із реалізованих методів був надалі оптимізований, тим самим зменшуючи кількість необхідних арифметичних операцій. Результати. Ці оптимізації були виконані з використанням певних властивостей матриці, таких як симетрія або значне число нульових елементів у матриці. Результати аналізу представлені для поділу балки на 5, 50, 100 і 200 вузлів, для яких був розрахований прогин. Наукова новизна. Головним досягненням даної роботи є те, що вона показує вплив використовуваної методики на складність вирішення задачі (або, що одне й те ж, на час, необхідний для отримання результатів). Практична значимість. Різниця між кращим (менш складним) рішенням задачі і гіршим (більш складним) знаходиться в ряді декількох порядків величини. Результати показують, що при виборі неправильного методу може значно збільшитися час, необхідний для виконання розрахунку.
Цель. Развитие обширного строительного рынка и стремление проектировать инновационные архитектурные строительные конструкции привели к необходимости создания сложных численных моделей объектов, у которых возрастает сложность вычислений. Цель данного исследования – показать, что выбор правильного метода для решения системы уравнений может улучшить время расчета (уменьшить сложность) на несколько уровней величины (амплитуды). Методика. В статье представлен анализ влияния алгоритма обращения матрицы на расчет прогиба в балке с использованием метода конечных элементов (МКЭ). На основе анализа литературы были определены общие методы расчетных систем уравнений. Используя найденные решения, были применены методы исключения переменных Гаусса, разложения LU матрицы и разложения Холецкого с целью определения влияния алгоритма обращения матрицы, используемой для решения комплекса уравнений, на количество выполненных вычислительных операций. Кроме того, каждый из реализованных методов был в дальнейшем оптимизирован, тем самым уменьшая количество необходимых арифметических операций. Результаты. Эти оптимизации были выполнены с использованием определенных свойств матрицы, таких как симметрия или значительное число нулевых элементов в матрице. Результаты анализа представлены для разделения балки на 5, 50, 100 и 200 узлов, для которых был рассчитан прогиб. Научная новизна. Главным достижением данной работы является то, что она показывает влияние используемой методики на сложность решения задачи (или, что одно и то же, на время, необходимое для получения результатов). Практическая значимость. Разница между лучшим (менее сложным) решением задачи и худшим (более сложным) находится в ряде нескольких порядков величины. Результаты показывают, что при выборе неправильного метода может значительно увеличиться время, необходимое для выполнения расчета.
IMPACT OF MATRIX INVERSION ON THE COMPLEXITY OF THE FINITE ELEMENT METHOD.
ВЛИЯНИЕ ОБРАЩЕНИЯ МАТРИЦЫ НА СЛОЖНОСТЬ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.
ВПЛИВ ЗВЕРНЕННЯ МАТРИЦІ НА СКЛАДНІСТЬ МЕТОДУ КІНЦЕВИХ ЕЛЕМЕНТІВ
2016-04-25
Science and Transport Progress ; No. 2(62) (2016); 190-199
Article (Journal)
Electronic Resource
English
FEM , Gaussian elimination , LU , decomposition methods , optimizations , Cholesky , finite element method Холецкий , методы разложения , исключение методом Гаусса , розкладання LU матриці , Холецький , метод кінцевих елементів , оптимізації , разложение LU матрицы , методи розкладання , оптимизации , метод конечных элементов , виключення методом Гаусса
Metadata by SPU is licensed under CC BY 3.0
Scientific Periodicals of Ukraine | 2004
|Scientific Periodicals of Ukraine | 2011
|Scientific Periodicals of Ukraine | 2008
|Scientific Periodicals of Ukraine | 2007
|